数学作为一种文化体系，可以培养人们的美感，提高理性审美能力。正是这种能力成为人们探索宇宙奥秘、揭示宇宙规律的重要手段。数学基础是一个非常古老的问题。自古希腊以来，数学家一直在寻找坚实可靠的数学基础。数学是人类思维的重要表达形式。它以高度抽象和严密的逻辑推理而闻名，标志着人类认识世界的水平。数学是科学女王。没有数学，自然科学将成为无果之花，其可靠性和有效性将受到严重质疑。然而，实在论与反实在论这一数学基本问题的争论却长期存在，直接关系到数学是否具有客观性、确定性和真理性。

传统上，数学是一项纯粹理性的事业。但如果数学只是头脑的发明，为什么数学在实践中有效呢？如果数学被简化为纯粹的逻辑关系，那么在某种意义上，数学将建立在同义反复的无意义之上。英国现代哲学家、经济学家、逻辑学家约翰·斯图尔特·密尔指出：“所有科学，包括逻辑和数学，都是时代的函数。 —— 所有的科学，连同它们的理想和成就，都是如此。很难给数学下一个一劳永逸的定义，因为人们处于数学发展的不同历史阶段，有不同的文化背景、知识范式和观点，对数学的理解也不同。

数—数学—数学哲学

数字是什么？罗素认为，“在定义数字时，我们首先必须了解我们研究的第一步。许多哲学试图定义数字，但实际上将它们定义为许多事物的复合体。这是完全无关紧要的事情”。比如3人一组就是3的实例，3肯定和张三、李四、王五组成的3人组合不同。 “我们可以继续将一般数定义为：任何因相似性而归到一起的类别；第二类是任何彼此相似而归到一起的类别。或者更简单地说：所谓的数就是某个类别数”。

数学是研究事物的数量及其特定关系的规则；数学哲学是研究数学发生和发展一般规律的学问；哲学是对自然、社会和思维的普遍规律的研究。数学哲学作为数学与哲学的交叉学科，处于数学与哲学之间的中间位置。数学哲学研究数学的对象、性质和方法的本体论、认识论和方法论问题，从整体上把握数学发生和发展的一般规律。因此，“哲学、数学哲学与数学之间的关系是一种普遍性、一般性和特殊性的关系。因此，数学是研究数学哲学的基础和依据。从这个意义上说，没有数学就没有数学哲学，或者说它是数学哲学的基础。”有人说，没有数学的数学哲学就是空洞的说教。”

作为一门独立的学科，数学哲学直到19世纪中叶才真正建立起来。许多数学哲学著作花费大量篇幅来定义数字，希望能够回答“什么是数字？”的问题。因为数学总是在发展的，加上各个流派和研究方向的差异，每个时期数学家给出的答案都是不同的。说到数学哲学，就不能不提古希腊数学哲学。

古希腊数学哲学

古希腊数学哲学大致可分为毕达哥拉斯-柏拉图数学哲学和亚里士多德数学哲学。在古希腊数学范式的形成过程中，毕达哥拉斯学派发挥了极其重要的作用，因为他们最先提出了数学哲学思想。毕达哥拉斯学派首先将数字作为抽象对象来研究。毕达哥拉斯本人在探求万物本质时提出了数原理：数不是某种物质形式，数永远无法被感觉到。如果有人伸出5个手指说：这不是5个吗？他拿出6支笔说：这不是6支吗？所以这些数字只是我们抽象出来的符号，代表5的符号，它们并不是5本身。一切事物都有数量关系，但要从万物之间的关系中抽象出数字1、2、3、4、5……，需要很长时间。当人们能够从很多事物中抽象出不同的数字时，这就是思维的飞跃。数量是通过抽象思维来掌握的。各种天然物质都存在数量关系。这种数量关系只有在思维中才能把握。因此，“一切皆数”实际上是一种数学实在论观点。毕达哥拉斯学派“一切皆数”的观点对后世数学哲学产生了深远的影响。

古希腊的数学哲学被毕达哥拉斯用抽象语言表达为数学概念。继毕达哥拉斯之后，柏拉图在古希腊数学哲学的形成中发挥了重要作用。柏拉图进一步深化了数的抽象，将数学视为完美的、理想的、绝对的、先验的知识和真理。柏拉图认为，数学研究的对象是抽象的，但它们是客观存在的，并且无论时间、空间和人类思维如何，都是永恒存在的。数学家提出的概念不是创造，而是对这种客观存在的描述。

亚里士多德虽然是柏拉图的学生，继承了柏拉图的很多思想，但他对于现实世界与数学的关系却有着不同的看法。亚里士多德认为，真正的知识是通过直觉和抽象从感性经验中获得的。这种抽象不能独立于人类思维而存在。他认为数字不属于理想世界，而是来自现实世界。在划分学科时，他认为数学是一门理论科学。

柏拉图的大理石雕像

中世纪数学哲学

唯名论哲学思想起源于中世纪。唯名论中比较极端的观点是，数字只是符号，一种名称，甚至是空气中的一种波动。这一观点的主要代表是罗斯塞利努斯。唯名论者认为，客观存在的事物只是具体的个体事物，即这匹马、那棵树、张三、李四等，而共相的抽象概念无非是一个符号或记号。

在中世纪，英国实验科学先驱罗杰·培根对数学的理解是矛盾的。一方面，他相信对数学真理的理解是与生俱来的；另一方面，他相信对数学真理的理解是与生俱来的。另一方面，他认为数学对象是由感觉组合产生的，数学证明必须有相应的经验。

罗杰培根

近代数学哲学

近代以来，随着科学革命的步伐，数学的价值得到了重申。美国数学史学家M·克莱恩指出，当时“数学是唯一被所有人认可的真理体系”。数学知识是确定的，它为人们在沼泽地中提供了稳定的立足点；人们也把对真理的探索引向了数学。”这导致了数学研究的重大发展，也促使人们开始重新思考数字的本质。法国哲学家、数学家笛卡尔认为，数学是一门理性的、演绎的科学德国哲学家、数学家莱布尼茨认为，数学知识是先验的、必然的知识。

后来康德的数学哲学思想，人怎样才能掌握数学知识呢？从最根本的角度来看，数学知识都是先天的综合判断。首先，数字与感官经验无关，因此数字是与生俱来的；它的数量无法通过概念分析得出，所以它是综合性的。为了识别数学命题，我们必须使用两种与生俱来的直觉形式的知觉，即时间。和空间。因为数字是一个接一个出现的，所以有一个顺序。空间概念是对事物形状的基本体验。因此，康德认为，数字是人类经验总结创造出来的，人类必须依靠自己与生俱来的直觉形式来掌握数学知识。

19世纪末20世纪初，集合论悖论的出现引发了数学基础的第三次危机，人们开始重新思考数的本质。从1890年到1940年的50年可以说是数学哲学发展的黄金时期。这一时期，弗雷格、罗素、布劳威尔、希尔伯特对数学的基本问题进行了系统深入的研究，产生了逻辑主义、直觉主义、形式主义等具有广泛而深远影响的数学概念。学派，从而开辟了数学哲学研究的新时代，其影响远远超出了数学的范围。尤其是基础主义数学哲学对维也纳学派的科学哲学研究产生了非常重要的影响，后者长期统治着科学哲学领域。

罗素认为数学是逻辑的延伸，因此他将数学定义为一种我们不知道它在说什么、也不知道它是真是假的数学。直觉主义者认为数学独立于物理世界，是纯粹精神直觉的产物。 “形式主义者把数学简化为某种形式符号，一种去掉了具体内容的符号系统。数学的真理就在于符号系统中的不矛盾性。”这三个流派都不同程度地影响了维特。根斯坦的数学哲学观。

结语

一般来说，数学哲学的研究可以分为本体论问题和认识论问题。数学的研究对象是什么，一般指本体论问题。数学对象和科学对象之间的关系，或者说我们如何研究和理解数学，是认识论问题。弗雷格之后出现的英美分析哲学产生了所谓语言哲学转向，将之前的本体论和认识论问题解释为语言问题。人们认为，语言以前被视为一种工具，而现代哲学问题最终都是用语言或概念来表达的，哲学上的混乱也是由语言的模糊性造成的。数学哲学研究数学的本体论、认识论和意义，还包括其他一些相关问题，如数学证明的客观性、数学知识的真实性、数学公理或证明的先验性等。

数学哲学主要指基础主义数学哲学。所谓数学的经验性，就其本义而言，就是对数学与其他自然科学的相似性的确认。这种认识实际上构成了新方向上所有工作的共同起点。关于数学经验性的断言显然是对传统观念的直接否定，即数学知识不应该被视为不容置疑的绝对真理，数学的发展也不是数学真理在数量上的简单积累。事实上，数学与自然科学之间的相似性已经从不同的角度被争论过。如果说数学和其他自然科学一样，最终应该被视为人类的创造性活动，构成整个人类文化的组成部分，那么数学的发展无疑是一个包含着猜想与反驳、错误与错综复杂的过程。数学的实验过程、内涵和变化最终是由我们的现实利益和其他科学的认识论目标决定的。

在《维特根斯坦与维也纳学派》中，维特根斯坦还讨论了“什么是数”。他认为定义是为验证指明道路的路标。定义解释了命题中符号的使用，也解释了命题的含义。定义是一种转换规则，描述如何将一个命题转换为另一个命题。解释数字是解释数量，而不是解释等量。我们拥有的是构造一系列符号的规则，正是这个规则使我们能够从数字符号的描述中导出所有前面数字的符号，从而使我们能够重建整个系列。 “数是一种形式。数的表达是一幅图画，它出现在一个命题中。数学的东西到处都是一样的。描述数的方法就是描述的方法。数以符号的形式表现出来。”定义一个数可能意味着两种不同的意思，如果你认为定义5，粗略地说，是描述一个关于多个类的类，那么答案一定是：从这个意义上来说，5是无法定义的。定义，算术的定义，5=3+2，同时3=2+1，2=1+1，那么5当然可以定义为与定律完全不同的符号表示。 ”

德国著名数学家R.库朗指出：“数学哲学是人类智慧的结晶，反映了人们的观念和思维”。 I.拉卡托斯认为“数学哲学来源于经验，对数学本质的认识离不开对经验和实践的认识”。

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